Rezolvați (76-4x)(8+2x)=1080

$$( 76 - 4 x ) ( 8 + 2 x ) = 1080$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}\approx 7,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}\approx 7,5-1,658312395i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 76-4x cu 8+2x și a combina termenii similari.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

Scădeți 1080 din ambele părți.

$$608+120x-8x^{2}-1080=0$$

Scădeți 1080 din 608 pentru a obține -472.

$$-472+120x-8x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-8x^{2}+120x-472=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -8, b cu 120 și c cu -472 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați 120 la pătrat.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu -472.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-15104}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 14400 cu -15104.

$$x=\frac{-120±\sqrt{-704}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -704.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16} atunci când ± este plus. Adunați -120 cu 8i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-120+8\sqrt{11}i}{-16}$$

Împărțiți -120+8i\sqrt{11} la -16.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 8i\sqrt{11} din -120.

$$x=\frac{-8\sqrt{11}i-120}{-16}$$

Împărțiți -120-8i\sqrt{11} la -16.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2} x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 76-4x cu 8+2x și a combina termenii similari.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

Scădeți 608 din ambele părți.

$$120x-8x^{2}=1080-608$$

Scădeți 608 din 1080 pentru a obține 472.

$$120x-8x^{2}=472$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+120x=472$$

Se împart ambele părți la -8.

$$\frac{-8x^{2}+120x}{-8}=\frac{472}{-8}$$

Împărțirea la -8 anulează înmulțirea cu -8.

$$x^{2}+\frac{120}{-8}x=\frac{472}{-8}$$

Împărțiți 120 la -8.

$$x^{2}-15x=\frac{472}{-8}$$

Împărțiți 472 la -8.

$$x^{2}-15x=-59$$

Împărțiți -15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-59+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-59+\frac{225}{4}$$

Adunați -59 cu \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{11}{4}$$

Factor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Adunați \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$