Rezolvați (5x-4)^2=81

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } = 81$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2,6$$

$$x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Scădeți 81 din ambele părți.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Scădeți 81 din 16 pentru a obține -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Se împart ambele părți la 5.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-13. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -65.

$$1,-65 5,-13$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-13 b=5$$

Rescrieți 5x^{2}-8x-13 ca \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right).

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

Scoateți factorul comun x din 5x^{2}-13x.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

Scoateți termenul comun 5x-13 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x-13=0 și x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Scădeți 81 din ambele părți.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Scădeți 81 din 16 pentru a obține -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu -40 și c cu -65 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Ridicați -40 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu -65.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+6500}}{2\times 25}$$

Adunați 1600 cu 6500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{8100}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 8100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±90}{2\times 25}$$

Opusul lui -40 este 40.

$$x=\frac{40±90}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{40±90}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{40±90}{50} atunci când ± este plus. Adunați 40 cu 90.

$$x=\frac{130}{50}$$

Reduceți fracția \frac{130}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{13}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{40±90}{50} atunci când ± este minus. Scădeți 90 din 40.

$$x=-\frac{50}{50}$$

Împărțiți -50 la 50.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$25x^{2}-40x=81-16$$

Scădeți 16 din 81 pentru a obține 65.

$$25x^{2}-40x=65$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=\frac{65}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=\frac{65}{25}$$

Reduceți fracția \frac{-40}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{65}{25}$$

Reduceți fracția \frac{65}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Împărțiți -\frac{8}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Adunați \frac{13}{5} cu \frac{16}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Adunați \frac{4}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$