Rezolvați (5x-2)^2-(3x+4)^2=0

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 3 x + 4 ) ^ { 2 } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 9x^{2}+24x+16, găsiți opusul fiecărui termen.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Combinați 25x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Combinați -20x cu -24x pentru a obține -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Scădeți 16 din 4 pentru a obține -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-12 b=1$$

Rescrieți 4x^{2}-11x-3 ca \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Scoateți factorul comun 4x din 4x^{2}-12x.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și 4x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 9x^{2}+24x+16, găsiți opusul fiecărui termen.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Combinați 25x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Combinați -20x cu -24x pentru a obține -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Scădeți 16 din 4 pentru a obține -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 16, b cu -44 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Ridicați -44 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-64\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -64 cu -12.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936+768}}{2\times 16}$$

Adunați 1936 cu 768.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{2704}}{2\times 16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2704.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±52}{2\times 16}$$

Opusul lui -44 este 44.

$$x=\frac{44±52}{2\times 16}$$

Înmulțiți 2 cu 16.

$$x=\frac{44±52}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{44±52}{32} atunci când ± este plus. Adunați 44 cu 52.

$$x=\frac{96}{32}$$

Împărțiți 96 la 32.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{44±52}{32} atunci când ± este minus. Scădeți 52 din 44.

$$x=-\frac{8}{32}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 9x^{2}+24x+16, găsiți opusul fiecărui termen.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Combinați 25x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Combinați -20x cu -24x pentru a obține -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Scădeți 16 din 4 pentru a obține -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Adăugați 12 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$16x^{2}-44x=12$$

Se împart ambele părți la 16.

$$\frac{16x^{2}-44x}{16}=\frac{12}{16}$$

Împărțirea la 16 anulează înmulțirea cu 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{44}{16}\right)x=\frac{12}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-44}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{12}{16}$$

Reduceți fracția \frac{12}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{3}{4}$$

Împărțiți -\frac{11}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{3}{4}+\frac{121}{64}$$

Adunați \frac{3}{4} cu \frac{121}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{169}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{13}{8}$$

Adunați \frac{11}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$