Rezolvați (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Să luăm \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 1 la pătrat.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Extindeți \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Pentru a găsi opusul lui 4x^{2}-1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combinați 25x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Adunați 4 și 1 pentru a obține 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Scădeți 47 din ambele părți.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Scădeți 47 din 5 pentru a obține -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Scădeți x din ambele părți.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combinați -20x cu -x pentru a obține -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Se împart ambele părți la 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-2 b=1$$

Rescrieți x^{2}-x-2 ca \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Scoateți factorul comun x din x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Să luăm \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 1 la pătrat.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Extindeți \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Pentru a găsi opusul lui 4x^{2}-1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combinați 25x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Adunați 4 și 1 pentru a obține 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Scădeți 47 din ambele părți.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Scădeți 47 din 5 pentru a obține -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Scădeți x din ambele părți.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combinați -20x cu -x pentru a obține -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 21, b cu -21 și c cu -42 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Ridicați -21 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Înmulțiți -4 cu 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Înmulțiți -84 cu -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Adunați 441 cu 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Opusul lui -21 este 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Înmulțiți 2 cu 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{21±63}{42} atunci când ± este plus. Adunați 21 cu 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Împărțiți 84 la 42.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{21±63}{42} atunci când ± este minus. Scădeți 63 din 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Împărțiți -42 la 42.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Să luăm \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 1 la pătrat.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Extindeți \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Pentru a găsi opusul lui 4x^{2}-1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combinați 25x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Adunați 4 și 1 pentru a obține 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Scădeți x din ambele părți.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Combinați -20x cu -x pentru a obține -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Scădeți 5 din 47 pentru a obține 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Se împart ambele părți la 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Împărțirea la 21 anulează înmulțirea cu 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Împărțiți -21 la 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Împărțiți 42 la 21.

$$x^{2}-x=2$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Adunați 2 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-1$$