Rezolvați (5x-1)^2=16

$$( 5 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$25x^{2}-10x+1-16=0$$

Scădeți 16 din 1 pentru a obține -15.

$$25x^{2}-10x-15=0$$

Se împart ambele părți la 5.

$$5x^{2}-2x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=5\left(-3\right)=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -15.

$$1,-15 3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=-5 b=3$$

Rescrieți 5x^{2}-2x-3 ca \left(5x^{2}-5x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(3x-3\right)$$

Factor 5x în primul și 3 în al doilea grup.

$$5x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(5x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 5x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$25x^{2}-10x+1-16=0$$

Scădeți 16 din 1 pentru a obține -15.

$$25x^{2}-10x-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu -10 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+1500}}{2\times 25}$$

Adunați 100 cu 1500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1600.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±40}{2\times 25}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±40}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{10±40}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±40}{50} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 40.

$$x=\frac{50}{50}$$

Împărțiți 50 la 50.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±40}{50} atunci când ± este minus. Scădeți 40 din 10.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$25x^{2}-10x=16-1$$

Scădeți 1 din 16 pentru a obține 15.

$$25x^{2}-10x=15$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=\frac{15}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=\frac{15}{25}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{15}{25}$$

Reduceți fracția \frac{15}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}$$

Împărțiți -\frac{2}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{3}{5}+\frac{1}{25}$$

Adunați \frac{3}{5} cu \frac{1}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{4}{5}$$

Adunați \frac{1}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$