Rezolvați (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Scădeți 16 din 49 pentru a obține 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 25x^{2}+ax+bx+33. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 825.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

Soluția este perechea care dă suma de 70.

$$a=15 b=55$$

Rescrieți 25x^{2}+70x+33 ca \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

Factor 5x în primul și 11 în al doilea grup.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

Scoateți termenul comun 5x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x+3=0 și 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Scădeți 16 din 49 pentru a obține 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu 70 și c cu 33 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Ridicați 70 la pătrat.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

Adunați 4900 cu -3300.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1600.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-70±40}{50} atunci când ± este plus. Adunați -70 cu 40.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-70±40}{50} atunci când ± este minus. Scădeți 40 din -70.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Reduceți fracția \frac{-110}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Scădeți 49 din ambele părți.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

Scădeți 49 din 16 pentru a obține -33.

$$25x^{2}+70x=-33$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

Reduceți fracția \frac{70}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

Împărțiți \frac{14}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

Adunați -\frac{33}{25} cu \frac{49}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

Scădeți \frac{7}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$