Rezolvați (5+a)^2+a=8+a

$$( 5 + a ) ^ { 2 } + a = 8 + a$$

Rezolvați pentru a

$$a=2\sqrt{2}-5\approx -2,171572875$$

$$a=-2\sqrt{2}-5\approx -7,828427125$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5+a\right)^{2}.

$$25+10a+a^{2}+a=8+a$$

Combinați 10a cu a pentru a obține 11a.

$$25+11a+a^{2}=8+a$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$25+11a+a^{2}-8=a$$

Scădeți 8 din 25 pentru a obține 17.

$$17+11a+a^{2}=a$$

Scădeți a din ambele părți.

$$17+11a+a^{2}-a=0$$

Combinați 11a cu -a pentru a obține 10a.

$$17+10a+a^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$a^{2}+10a+17=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 10 și c cu 17 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 17}}{2}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$a=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 17}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 17.

$$a=\frac{-10±\sqrt{100-68}}{2}$$

Adunați 100 cu -68.

$$a=\frac{-10±\sqrt{32}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 32.

$$a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 4\sqrt{2}.

$$a=\frac{4\sqrt{2}-10}{2}$$

Împărțiți -10+4\sqrt{2} la 2.

$$a=2\sqrt{2}-5$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{2} din -10.

$$a=\frac{-4\sqrt{2}-10}{2}$$

Împărțiți -10-4\sqrt{2} la 2.

$$a=-2\sqrt{2}-5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=2\sqrt{2}-5 a=-2\sqrt{2}-5$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5+a\right)^{2}.

$$25+10a+a^{2}+a=8+a$$

Combinați 10a cu a pentru a obține 11a.

$$25+11a+a^{2}=8+a$$

Scădeți a din ambele părți.

$$25+11a+a^{2}-a=8$$

Combinați 11a cu -a pentru a obține 10a.

$$25+10a+a^{2}=8$$

Scădeți 25 din ambele părți.

$$10a+a^{2}=8-25$$

Scădeți 25 din 8 pentru a obține -17.

$$10a+a^{2}=-17$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$a^{2}+10a=-17$$

Împărțiți 10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 5. Apoi, adunați pătratul lui 5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}+10a+5^{2}=-17+5^{2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$a^{2}+10a+25=-17+25$$

Adunați -17 cu 25.

$$a^{2}+10a+25=8$$

Factor a^{2}+10a+25. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+5\right)^{2}=8$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a+5\right)^{2}}=\sqrt{8}$$

Simplificați.

$$a+5=2\sqrt{2} a+5=-2\sqrt{2}$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$a=2\sqrt{2}-5 a=-2\sqrt{2}-5$$