Rezolvați (4x-7)(2x-4)=84+4x^2-32x

$$( 4 x - 7 ) ( 2 x - 4 ) = 84 + 4 x ^ { 2 } - 32 x$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x-7 cu 2x-4 și a combina termenii similari.

$$8x^{2}-30x+28=84+4x^{2}-32x$$

Scădeți 84 din ambele părți.

$$8x^{2}-30x+28-84=4x^{2}-32x$$

Scădeți 84 din 28 pentru a obține -56.

$$8x^{2}-30x-56=4x^{2}-32x$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$8x^{2}-30x-56-4x^{2}=-32x$$

Combinați 8x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}-30x-56=-32x$$

Adăugați 32x la ambele părți.

$$4x^{2}-30x-56+32x=0$$

Combinați -30x cu 32x pentru a obține 2x.

$$4x^{2}+2x-56=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$2x^{2}+x-28=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-28. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=2\left(-28\right)=-56$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-7 b=8$$

Rescrieți 2x^{2}+x-28 ca \left(2x^{2}-7x\right)+\left(8x-28\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(8x-28\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(2x-7\right)+4\left(2x-7\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-7\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-7=0 și x+4=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x-7 cu 2x-4 și a combina termenii similari.

$$8x^{2}-30x+28=84+4x^{2}-32x$$

Scădeți 84 din ambele părți.

$$8x^{2}-30x+28-84=4x^{2}-32x$$

Scădeți 84 din 28 pentru a obține -56.

$$8x^{2}-30x-56=4x^{2}-32x$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$8x^{2}-30x-56-4x^{2}=-32x$$

Combinați 8x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}-30x-56=-32x$$

Adăugați 32x la ambele părți.

$$4x^{2}-30x-56+32x=0$$

Combinați -30x cu 32x pentru a obține 2x.

$$4x^{2}+2x-56=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 2 și c cu -56 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-56\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-56\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-56\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -56.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+896}}{2\times 4}$$

Adunați 4 cu 896.

$$x=\frac{-2±\sqrt{900}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 900.

$$x=\frac{-2±30}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-2±30}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±30}{8} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 30.

$$x=\frac{28}{8}$$

Reduceți fracția \frac{28}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±30}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 30 din -2.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Împărțiți -32 la 8.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{7}{2} x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x-7 cu 2x-4 și a combina termenii similari.

$$8x^{2}-30x+28=84+4x^{2}-32x$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$8x^{2}-30x+28-4x^{2}=84-32x$$

Combinați 8x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}-30x+28=84-32x$$

Adăugați 32x la ambele părți.

$$4x^{2}-30x+28+32x=84$$

Combinați -30x cu 32x pentru a obține 2x.

$$4x^{2}+2x+28=84$$

Scădeți 28 din ambele părți.

$$4x^{2}+2x=84-28$$

Scădeți 28 din 84 pentru a obține 56.

$$4x^{2}+2x=56$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{56}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{56}{4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{56}{4}$$

Împărțiți 56 la 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=14$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=14+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=14+\frac{1}{16}$$

Adunați 14 cu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{225}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{15}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{15}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{7}{2} x=-4$$