Rezolvați (4x+6)^2=2x+3

$$( 4 x + 6 ) ^ { 2 } = 2 x + 3$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{11}{8} = -1\frac{3}{8} = -1,375$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Combinați 48x cu -2x pentru a obține 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Scădeți 3 din ambele părți.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Scădeți 3 din 36 pentru a obține 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 16x^{2}+ax+bx+33. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=46 ab=16\times 33=528$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 528.

$$1,528 2,264 3,176 4,132 6,88 8,66 11,48 12,44 16,33 22,24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+528=529 2+264=266 3+176=179 4+132=136 6+88=94 8+66=74 11+48=59 12+44=56 16+33=49 22+24=46$$

Soluția este perechea care dă suma de 46.

$$a=22 b=24$$

Rescrieți 16x^{2}+46x+33 ca \left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right).

$$\left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right)$$

Factor 2x în primul și 3 în al doilea grup.

$$2x\left(8x+11\right)+3\left(8x+11\right)$$

Scoateți termenul comun 8x+11 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(8x+11\right)\left(2x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 8x+11=0 și 2x+3=0.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Combinați 48x cu -2x pentru a obține 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Scădeți 3 din ambele părți.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Scădeți 3 din 36 pentru a obține 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 16, b cu 46 și c cu 33 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Ridicați 46 la pătrat.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-64\times 33}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -64 cu 33.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2112}}{2\times 16}$$

Adunați 2116 cu -2112.

$$x=\frac{-46±\sqrt{4}}{2\times 16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-46±2}{2\times 16}$$

Înmulțiți 2 cu 16.

$$x=\frac{-46±2}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-46±2}{32} atunci când ± este plus. Adunați -46 cu 2.

$$x=-\frac{44}{32}$$

Reduceți fracția \frac{-44}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{11}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-46±2}{32} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din -46.

$$x=-\frac{48}{32}$$

Reduceți fracția \frac{-48}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Combinați 48x cu -2x pentru a obține 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Scădeți 36 din ambele părți.

$$16x^{2}+46x=3-36$$

Scădeți 36 din 3 pentru a obține -33.

$$16x^{2}+46x=-33$$

Se împart ambele părți la 16.

$$\frac{16x^{2}+46x}{16}=-\frac{33}{16}$$

Împărțirea la 16 anulează înmulțirea cu 16.

$$x^{2}+\frac{46}{16}x=-\frac{33}{16}$$

Reduceți fracția \frac{46}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x=-\frac{33}{16}$$

Împărțiți \frac{23}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{23}{16}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{23}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{16}+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{23}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=-\frac{33}{16}+\frac{529}{256}$$

Adunați -\frac{33}{16} cu \frac{529}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=\frac{1}{256}$$

Factor x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{1}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{256}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{23}{16}=\frac{1}{16} x+\frac{23}{16}=-\frac{1}{16}$$

Scădeți \frac{23}{16} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$