Rezolvați (4x+3)(7x+5)=2

$$( 4 x + 3 ) ( 7 x + 5 ) = 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{13}{28}\approx -0,464285714$$

$$x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x+3 cu 7x+5 și a combina termenii similari.

$$28x^{2}+41x+15=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$28x^{2}+41x+15-2=0$$

Scădeți 2 din 15 pentru a obține 13.

$$28x^{2}+41x+13=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 28, b cu 41 și c cu 13 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-41±\sqrt{41^{2}-4\times 28\times 13}}{2\times 28}$$

Ridicați 41 la pătrat.

$$x=\frac{-41±\sqrt{1681-4\times 28\times 13}}{2\times 28}$$

Înmulțiți -4 cu 28.

$$x=\frac{-41±\sqrt{1681-112\times 13}}{2\times 28}$$

Înmulțiți -112 cu 13.

$$x=\frac{-41±\sqrt{1681-1456}}{2\times 28}$$

Adunați 1681 cu -1456.

$$x=\frac{-41±\sqrt{225}}{2\times 28}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$x=\frac{-41±15}{2\times 28}$$

Înmulțiți 2 cu 28.

$$x=\frac{-41±15}{56}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-41±15}{56} atunci când ± este plus. Adunați -41 cu 15.

$$x=-\frac{26}{56}$$

Reduceți fracția \frac{-26}{56} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{13}{28}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-41±15}{56} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din -41.

$$x=-\frac{56}{56}$$

Împărțiți -56 la 56.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{13}{28} x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x+3 cu 7x+5 și a combina termenii similari.

$$28x^{2}+41x+15=2$$

Scădeți 15 din ambele părți.

$$28x^{2}+41x=2-15$$

Scădeți 15 din 2 pentru a obține -13.

$$28x^{2}+41x=-13$$

Se împart ambele părți la 28.

$$\frac{28x^{2}+41x}{28}=-\frac{13}{28}$$

Împărțirea la 28 anulează înmulțirea cu 28.

$$x^{2}+\frac{41}{28}x=-\frac{13}{28}$$

Împărțiți \frac{41}{28}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{41}{56}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{41}{56} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{41}{28}x+\left(\frac{41}{56}\right)^{2}=-\frac{13}{28}+\left(\frac{41}{56}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{41}{56} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{41}{28}x+\frac{1681}{3136}=-\frac{13}{28}+\frac{1681}{3136}$$

Adunați -\frac{13}{28} cu \frac{1681}{3136} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{41}{28}x+\frac{1681}{3136}=\frac{225}{3136}$$

Factor x^{2}+\frac{41}{28}x+\frac{1681}{3136}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{41}{56}\right)^{2}=\frac{225}{3136}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{41}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{3136}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{41}{56}=\frac{15}{56} x+\frac{41}{56}=-\frac{15}{56}$$

Scădeți \frac{41}{56} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{13}{28} x=-1$$