Rezolvați (4x+1)^2+9(4x+1)=-18

$$( 4 x + 1 ) ^ { 2 } + 9 ( 4 x + 1 ) = - 18$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x+1\right)^{2}.

$$16x^{2}+8x+1+9\left(4x+1\right)=-18$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 9 cu 4x+1.

$$16x^{2}+8x+1+36x+9=-18$$

Combinați 8x cu 36x pentru a obține 44x.

$$16x^{2}+44x+1+9=-18$$

Adunați 1 și 9 pentru a obține 10.

$$16x^{2}+44x+10=-18$$

Adăugați 18 la ambele părți.

$$16x^{2}+44x+10+18=0$$

Adunați 10 și 18 pentru a obține 28.

$$16x^{2}+44x+28=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$4x^{2}+11x+7=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx+7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=4\times 7=28$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=4 b=7$$

Rescrieți 4x^{2}+11x+7 ca \left(4x^{2}+4x\right)+\left(7x+7\right).

$$\left(4x^{2}+4x\right)+\left(7x+7\right)$$

Factor 4x în primul și 7 în al doilea grup.

$$4x\left(x+1\right)+7\left(x+1\right)$$

Scoateți termenul comun x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+1\right)\left(4x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+1=0 și 4x+7=0.

$$x=-1 x=-\frac{7}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x+1\right)^{2}.

$$16x^{2}+8x+1+9\left(4x+1\right)=-18$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 9 cu 4x+1.

$$16x^{2}+8x+1+36x+9=-18$$

Combinați 8x cu 36x pentru a obține 44x.

$$16x^{2}+44x+1+9=-18$$

Adunați 1 și 9 pentru a obține 10.

$$16x^{2}+44x+10=-18$$

Adăugați 18 la ambele părți.

$$16x^{2}+44x+10+18=0$$

Adunați 10 și 18 pentru a obține 28.

$$16x^{2}+44x+28=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 16, b cu 44 și c cu 28 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\times 16\times 28}}{2\times 16}$$

Ridicați 44 la pătrat.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\times 16\times 28}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-64\times 28}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -64 cu 28.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1792}}{2\times 16}$$

Adunați 1936 cu -1792.

$$x=\frac{-44±\sqrt{144}}{2\times 16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-44±12}{2\times 16}$$

Înmulțiți 2 cu 16.

$$x=\frac{-44±12}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-44±12}{32} atunci când ± este plus. Adunați -44 cu 12.

$$x=-\frac{32}{32}$$

Împărțiți -32 la 32.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-44±12}{32} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din -44.

$$x=-\frac{56}{32}$$

Reduceți fracția \frac{-56}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=-\frac{7}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x+1\right)^{2}.

$$16x^{2}+8x+1+9\left(4x+1\right)=-18$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 9 cu 4x+1.

$$16x^{2}+8x+1+36x+9=-18$$

Combinați 8x cu 36x pentru a obține 44x.

$$16x^{2}+44x+1+9=-18$$

Adunați 1 și 9 pentru a obține 10.

$$16x^{2}+44x+10=-18$$

Scădeți 10 din ambele părți.

$$16x^{2}+44x=-18-10$$

Scădeți 10 din -18 pentru a obține -28.

$$16x^{2}+44x=-28$$

Se împart ambele părți la 16.

$$\frac{16x^{2}+44x}{16}=-\frac{28}{16}$$

Împărțirea la 16 anulează înmulțirea cu 16.

$$x^{2}+\frac{44}{16}x=-\frac{28}{16}$$

Reduceți fracția \frac{44}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=-\frac{28}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-28}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=-\frac{7}{4}$$

Împărțiți \frac{11}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{11}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{11}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{11}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{4}+\frac{121}{64}$$

Adunați -\frac{7}{4} cu \frac{121}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{9}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{3}{8}$$

Scădeți \frac{11}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-1 x=-\frac{7}{4}$$