Rezolvați (4-k)*(k-5)+42=0

$$( 4 - k ) \times ( k - 5 ) + 42 = 0$$

Rezolvați pentru k

$$k=-2$$

$$k=11$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4-k cu k-5 și a combina termenii similari.

$$9k-20-k^{2}+42=0$$

Adunați -20 și 42 pentru a obține 22.

$$9k+22-k^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-k^{2}+9k+22=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -k^{2}+ak+bk+22. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=9 ab=-22=-22$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -22.

$$-1,22 -2,11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+22=21 -2+11=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=11 b=-2$$

Rescrieți -k^{2}+9k+22 ca \left(-k^{2}+11k\right)+\left(-2k+22\right).

$$\left(-k^{2}+11k\right)+\left(-2k+22\right)$$

Factor -k în primul și -2 în al doilea grup.

$$-k\left(k-11\right)-2\left(k-11\right)$$

Scoateți termenul comun k-11 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(k-11\right)\left(-k-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați k-11=0 și -k-2=0.

$$k=11 k=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4-k cu k-5 și a combina termenii similari.

$$9k-20-k^{2}+42=0$$

Adunați -20 și 42 pentru a obține 22.

$$9k+22-k^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-k^{2}+9k+22=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 9 și c cu 22 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\times 22}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\times 22}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+4\times 22}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 22.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+88}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 81 cu 88.

$$k=\frac{-9±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$k=\frac{-9±13}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$k=\frac{-9±13}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-9±13}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 13.

$$k=\frac{4}{-2}$$

Împărțiți 4 la -2.

$$k=-2$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-9±13}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -9.

$$k=-\frac{22}{-2}$$

Împărțiți -22 la -2.

$$k=11$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$k=-2 k=11$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4-k cu k-5 și a combina termenii similari.

$$9k-20-k^{2}+42=0$$

Adunați -20 și 42 pentru a obține 22.

$$9k+22-k^{2}=0$$

Scădeți 22 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$9k-k^{2}=-22$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-k^{2}+9k=-22$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-k^{2}+9k}{-1}=-\frac{22}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$k^{2}+\frac{9}{-1}k=-\frac{22}{-1}$$

Împărțiți 9 la -1.

$$k^{2}-9k=-\frac{22}{-1}$$

Împărțiți -22 la -1.

$$k^{2}-9k=22$$

Împărțiți -9, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$k^{2}-9k+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=22+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$k^{2}-9k+\frac{81}{4}=22+\frac{81}{4}$$

Adunați 22 cu \frac{81}{4}.

$$k^{2}-9k+\frac{81}{4}=\frac{169}{4}$$

Factor k^{2}-9k+\frac{81}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(k-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplificați.

$$k-\frac{9}{2}=\frac{13}{2} k-\frac{9}{2}=-\frac{13}{2}$$

Adunați \frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$k=11 k=-2$$