Rezolvați (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Rezolvați pentru x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Înmulțiți 16 cu 3 pentru a obține 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 8 și 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pentru a ridica \frac{x\sqrt{3}}{2} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 48 cu \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Deoarece \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} și \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Înmulțiți 48 cu 4 pentru a obține 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Extindeți \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Exprimați 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} ca fracție unică.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Reduceți prin eliminare 4 și 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Înmulțiți 16 cu 3 pentru a obține 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combinați x^{2}\times 3 cu x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Scădeți 624 din ambele părți.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Scădeți 624 din 192 pentru a obține -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-108. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 12.

$$a=-6 b=18$$

Rescrieți x^{2}+12x-108 ca \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Factor x în primul și 18 în al doilea grup.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Înmulțiți 16 cu 3 pentru a obține 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 8 și 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pentru a ridica \frac{x\sqrt{3}}{2} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 48 cu \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Deoarece \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} și \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Înmulțiți 48 cu 4 pentru a obține 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Extindeți \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Exprimați 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} ca fracție unică.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Reduceți prin eliminare 4 și 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Înmulțiți 16 cu 3 pentru a obține 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combinați x^{2}\times 3 cu x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Scădeți 624 din ambele părți.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Scădeți 624 din 192 pentru a obține -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 48 și c cu -432 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 48 la pătrat.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Adunați 2304 cu 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-48±96}{8} atunci când ± este plus. Adunați -48 cu 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Împărțiți 48 la 8.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-48±96}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 96 din -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Împărțiți -144 la 8.

$$x=-18$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=-18$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Înmulțiți 16 cu 3 pentru a obține 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 8 și 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pentru a ridica \frac{x\sqrt{3}}{2} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 48 cu \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Deoarece \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} și \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Înmulțiți 48 cu 4 pentru a obține 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Extindeți \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Exprimați 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} ca fracție unică.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Reduceți prin eliminare 4 și 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Înmulțiți 16 cu 3 pentru a obține 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combinați x^{2}\times 3 cu x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Scădeți 192 din ambele părți.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Scădeți 192 din 624 pentru a obține 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Împărțiți 48 la 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Împărțiți 432 la 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Împărțiți 12, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 6. Apoi, adunați pătratul lui 6 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Adunați 108 cu 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Factor x^{2}+12x+36. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Simplificați.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=-18$$