Rezolvați (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-5 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Combinați 3x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 2, b cu 1 și c cu -10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{-1±9}{4} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

Pentru ca produsul să fie ≤0, una dintre valorile x-2 și x+\frac{5}{2} trebuie să fie ≥0 și cealaltă trebuie să fie ≤0. Luați în considerare cazul în care x-2\geq 0 și x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Luați în considerare cazul în care x-2\leq 0 și x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$