Rezolvați (3x+2)^2-5(3x+2)=0

$$( 3 x + 2 ) ^ { 2 } - 5 ( 3 x + 2 ) = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4-5\left(3x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu 3x+2.

$$9x^{2}+12x+4-15x-10=0$$

Combinați 12x cu -15x pentru a obține -3x.

$$9x^{2}-3x+4-10=0$$

Scădeți 10 din 4 pentru a obține -6.

$$9x^{2}-3x-6=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-3 b=2$$

Rescrieți 3x^{2}-x-2 ca \left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4-5\left(3x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu 3x+2.

$$9x^{2}+12x+4-15x-10=0$$

Combinați 12x cu -15x pentru a obține -3x.

$$9x^{2}-3x+4-10=0$$

Scădeți 10 din 4 pentru a obține -6.

$$9x^{2}-3x-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -3 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 9\left(-6\right)}}{2\times 9}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 9\left(-6\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-36\left(-6\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu -6.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+216}}{2\times 9}$$

Adunați 9 cu 216.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{225}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±15}{2\times 9}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±15}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{3±15}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±15}{18} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 15.

$$x=\frac{18}{18}$$

Împărțiți 18 la 18.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±15}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din 3.

$$x=-\frac{12}{18}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4-5\left(3x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu 3x+2.

$$9x^{2}+12x+4-15x-10=0$$

Combinați 12x cu -15x pentru a obține -3x.

$$9x^{2}-3x+4-10=0$$

Scădeți 10 din 4 pentru a obține -6.

$$9x^{2}-3x-6=0$$

Adăugați 6 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$9x^{2}-3x=6$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-3x}{9}=\frac{6}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{9}\right)x=\frac{6}{9}$$

Reduceți fracția \frac{-3}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{6}{9}$$

Reduceți fracția \frac{6}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Împărțiți -\frac{1}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Adunați \frac{2}{3} cu \frac{1}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Adunați \frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$