Rezolvați (3-y)^2+y^2=12

$$( 3 - y ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 12$$

Rezolvați pentru y

$$y = \frac{\sqrt{15} + 3}{2} \approx 3,436491673$$

$$y=\frac{3-\sqrt{15}}{2}\approx -0,436491673$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3-y\right)^{2}.

$$9-6y+y^{2}+y^{2}=12$$

Combinați y^{2} cu y^{2} pentru a obține 2y^{2}.

$$9-6y+2y^{2}=12$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$9-6y+2y^{2}-12=0$$

Scădeți 12 din 9 pentru a obține -3.

$$-3-6y+2y^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2y^{2}-6y-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -6 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -3.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+24}}{2\times 2}$$

Adunați 36 cu 24.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{60}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 60.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{15}}{2\times 2}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$y=\frac{6±2\sqrt{15}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$y=\frac{6±2\sqrt{15}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{6±2\sqrt{15}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 2\sqrt{15}.

$$y=\frac{2\sqrt{15}+6}{4}$$

Împărțiți 6+2\sqrt{15} la 4.

$$y=\frac{\sqrt{15}+3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{6±2\sqrt{15}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{15} din 6.

$$y=\frac{6-2\sqrt{15}}{4}$$

Împărțiți 6-2\sqrt{15} la 4.

$$y=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{\sqrt{15}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3-y\right)^{2}.

$$9-6y+y^{2}+y^{2}=12$$

Combinați y^{2} cu y^{2} pentru a obține 2y^{2}.

$$9-6y+2y^{2}=12$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$-6y+2y^{2}=12-9$$

Scădeți 9 din 12 pentru a obține 3.

$$-6y+2y^{2}=3$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}-6y=3$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2y^{2}-6y}{2}=\frac{3}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$y^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)y=\frac{3}{2}$$

Împărțiți -6 la 2.

$$y^{2}-3y=\frac{3}{2}$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}$$

Adunați \frac{3}{2} cu \frac{9}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{15}{4}$$

Factor y^{2}-3y+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15}{4}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{15}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$$