Rezolvați (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=8$$

$$x=15$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calculați 17 la puterea 2 și obțineți 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Scădeți 289 din ambele părți.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Scădeți 289 din 529 pentru a obține 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+120. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Soluția este perechea care dă suma de -23.

$$a=-15 b=-8$$

Rescrieți x^{2}-23x+120 ca \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Factor x în primul și -8 în al doilea grup.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Scoateți termenul comun x-15 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-15=0 și x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calculați 17 la puterea 2 și obțineți 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Scădeți 289 din ambele părți.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Scădeți 289 din 529 pentru a obține 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -46 și c cu 240 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Ridicați -46 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Adunați 2116 cu -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Opusul lui -46 este 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{46±14}{4} atunci când ± este plus. Adunați 46 cu 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Împărțiți 60 la 4.

$$x=15$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{46±14}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Împărțiți 32 la 4.

$$x=8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=15 x=8$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calculați 17 la puterea 2 și obțineți 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Scădeți 529 din ambele părți.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Scădeți 529 din 289 pentru a obține -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Împărțiți -46 la 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Împărțiți -240 la 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Împărțiți -23, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{23}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{23}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{23}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Adunați -120 cu \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}-23x+\frac{529}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{23}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=15 x=8$$