Rezolvați (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Descompunere în factori

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Pașii soluției

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca -10x^{2}+ax+bx+22. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 51.

$$a=55 b=-4$$

Rescrieți -10x^{2}+51x+22 ca \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Factor -5x în primul și -2 în al doilea grup.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-11 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Ridicați 51 la pătrat.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți 40 cu 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Adunați 2601 cu 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-51±59}{-20} atunci când ± este plus. Adunați -51 cu 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Reduceți fracția \frac{8}{-20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-51±59}{-20} atunci când ± este minus. Scădeți 59 din -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Reduceți fracția \frac{-110}{-20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{2}{5} și x_{2} cu \frac{11}{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Adunați \frac{2}{5} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Scădeți \frac{11}{2} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Înmulțiți \frac{-5x-2}{-5} cu \frac{-2x+11}{-2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -5 cu -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Simplificați cu 10, cel mai mare factor comun din -10 și 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Evaluați

$$22+51x-10x^{2}$$