Rezolvați (20-3x)(12-x)=112

$$( 20 - 3 x ) ( 12 - x ) = 112$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

$$x=16$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 20-3x cu 12-x și a combina termenii similari.

$$240-56x+3x^{2}=112$$

Scădeți 112 din ambele părți.

$$240-56x+3x^{2}-112=0$$

Scădeți 112 din 240 pentru a obține 128.

$$128-56x+3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-56x+128=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -56 și c cu 128 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 3\times 128}}{2\times 3}$$

Ridicați -56 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 3\times 128}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-12\times 128}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 128.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-1536}}{2\times 3}$$

Adunați 3136 cu -1536.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{1600}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1600.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±40}{2\times 3}$$

Opusul lui -56 este 56.

$$x=\frac{56±40}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{56±40}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{56±40}{6} atunci când ± este plus. Adunați 56 cu 40.

$$x=\frac{96}{6}$$

Împărțiți 96 la 6.

$$x=16$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{56±40}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 40 din 56.

$$x=\frac{16}{6}$$

Reduceți fracția \frac{16}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=16 x=\frac{8}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 20-3x cu 12-x și a combina termenii similari.

$$240-56x+3x^{2}=112$$

Scădeți 240 din ambele părți.

$$-56x+3x^{2}=112-240$$

Scădeți 240 din 112 pentru a obține -128.

$$-56x+3x^{2}=-128$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-56x=-128$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-56x}{3}=-\frac{128}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x=-\frac{128}{3}$$

Împărțiți -\frac{56}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{28}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{28}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\left(-\frac{28}{3}\right)^{2}=-\frac{128}{3}+\left(-\frac{28}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{28}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}=-\frac{128}{3}+\frac{784}{9}$$

Adunați -\frac{128}{3} cu \frac{784}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}=\frac{400}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{28}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{28}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{28}{3}=\frac{20}{3} x-\frac{28}{3}=-\frac{20}{3}$$

Adunați \frac{28}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=16 x=\frac{8}{3}$$