Rezolvați (20-3x)(12-2x)=112

$$( 20 - 3 x ) ( 12 - 2 x ) = 112$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

$$x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10,666666667$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 20-3x cu 12-2x și a combina termenii similari.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Scădeți 112 din ambele părți.

$$240-76x+6x^{2}-112=0$$

Scădeți 112 din 240 pentru a obține 128.

$$128-76x+6x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-76x+128=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -76 și c cu 128 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Ridicați -76 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-24\times 128}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 128.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-3072}}{2\times 6}$$

Adunați 5776 cu -3072.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2704.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±52}{2\times 6}$$

Opusul lui -76 este 76.

$$x=\frac{76±52}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{76±52}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{76±52}{12} atunci când ± este plus. Adunați 76 cu 52.

$$x=\frac{128}{12}$$

Reduceți fracția \frac{128}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{32}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{76±52}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 52 din 76.

$$x=\frac{24}{12}$$

Împărțiți 24 la 12.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 20-3x cu 12-2x și a combina termenii similari.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Scădeți 240 din ambele părți.

$$-76x+6x^{2}=112-240$$

Scădeți 240 din 112 pentru a obține -128.

$$-76x+6x^{2}=-128$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-76x=-128$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-76x}{6}=-\frac{128}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{76}{6}\right)x=-\frac{128}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-76}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{128}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-128}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{64}{3}$$

Împărțiți -\frac{38}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{19}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{19}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{19}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{64}{3}+\frac{361}{9}$$

Adunați -\frac{64}{3} cu \frac{361}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{169}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{13}{3}$$

Adunați \frac{19}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$