Rezolvați (2y+3)^2+y^2=4

$$( 2 y + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}\approx -0,536675042$$

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}\approx -1,863324958$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2y+3\right)^{2}.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Combinați 4y^{2} cu y^{2} pentru a obține 5y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$5y^{2}+12y+9-4=0$$

Scădeți 4 din 9 pentru a obține 5.

$$5y^{2}+12y+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 12 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-20\times 5}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-100}}{2\times 5}$$

Adunați 144 cu -100.

$$y=\frac{-12±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 44.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10} atunci când ± este plus. Adunați -12 cu 2\sqrt{11}.

$$y=\frac{2\sqrt{11}-12}{10}$$

Împărțiți -12+2\sqrt{11} la 10.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{11} din -12.

$$y=\frac{-2\sqrt{11}-12}{10}$$

Împărțiți -12-2\sqrt{11} la 10.

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2y+3\right)^{2}.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Combinați 4y^{2} cu y^{2} pentru a obține 5y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$5y^{2}+12y=4-9$$

Scădeți 9 din 4 pentru a obține -5.

$$5y^{2}+12y=-5$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5y^{2}+12y}{5}=-\frac{5}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-\frac{5}{5}$$

Împărțiți -5 la 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-1$$

Împărțiți \frac{12}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{6}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{6}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{6}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=-1+\frac{36}{25}$$

Adunați -1 cu \frac{36}{25}.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=\frac{11}{25}$$

Factor y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} y+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

Scădeți \frac{6}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$