Rezolvați (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+10x+25, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combinați -12x cu -10x pentru a obține -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Scădeți 25 din 9 pentru a obține -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Adăugați 23 la ambele părți.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Adunați -16 și 23 pentru a obține 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Soluția este perechea care dă suma de -22.

$$a=-21 b=-1$$

Rescrieți 3x^{2}-22x+7 ca \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Factor 3x în primul și -1 în al doilea grup.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+10x+25, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combinați -12x cu -10x pentru a obține -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Scădeți 25 din 9 pentru a obține -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Adăugați 23 la ambele părți.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Adunați -16 și 23 pentru a obține 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -22 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Ridicați -22 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Adunați 484 cu -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Opusul lui -22 este 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{22±20}{6} atunci când ± este plus. Adunați 22 cu 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Împărțiți 42 la 6.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{22±20}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 20 din 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Reduceți fracția \frac{2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+10x+25, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combinați -12x cu -10x pentru a obține -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Scădeți 25 din 9 pentru a obține -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Adunați -23 și 16 pentru a obține -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Împărțiți -\frac{22}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Adunați -\frac{7}{3} cu \frac{121}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Adunați \frac{11}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$