Rezolvați (2x)^2=(x-2)*(7x+4)

$$( 2 x ) ^ { 2 } = ( x - 2 ) \cdot ( 7 x + 4 )$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Extindeți \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}=\left(x-2\right)\left(7x+4\right)$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4x^{2}=\left(x-2\right)\left(7x+4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 7x+4 și a combina termenii similari.

$$4x^{2}=7x^{2}-10x-8$$

Scădeți 7x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}-7x^{2}=-10x-8$$

Combinați 4x^{2} cu -7x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}=-10x-8$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$-3x^{2}+10x=-8$$

Adăugați 8 la ambele părți.

$$-3x^{2}+10x+8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx+8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=-3\times 8=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=12 b=-2$$

Rescrieți -3x^{2}+10x+8 ca \left(-3x^{2}+12x\right)+\left(-2x+8\right).

$$\left(-3x^{2}+12x\right)+\left(-2x+8\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(-x+4\right)+2\left(-x+4\right)$$

Scoateți termenul comun -x+4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+4\right)\left(3x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+4=0 și 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Extindeți \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}=\left(x-2\right)\left(7x+4\right)$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4x^{2}=\left(x-2\right)\left(7x+4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 7x+4 și a combina termenii similari.

$$4x^{2}=7x^{2}-10x-8$$

Scădeți 7x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}-7x^{2}=-10x-8$$

Combinați 4x^{2} cu -7x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}=-10x-8$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$-3x^{2}+10x=-8$$

Adăugați 8 la ambele părți.

$$-3x^{2}+10x+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 10 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3\right)\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3\right)\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 100 cu 96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-10±14}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-10±14}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±14}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 14.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{4}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±14}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din -10.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Împărțiți -24 la -6.

$$x=4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{2}{3} x=4$$

Pași pentru completarea pătratului

Extindeți \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}=\left(x-2\right)\left(7x+4\right)$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4x^{2}=\left(x-2\right)\left(7x+4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 7x+4 și a combina termenii similari.

$$4x^{2}=7x^{2}-10x-8$$

Scădeți 7x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}-7x^{2}=-10x-8$$

Combinați 4x^{2} cu -7x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}=-10x-8$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$-3x^{2}+10x=-8$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+10x}{-3}=-\frac{8}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{10}{-3}x=-\frac{8}{-3}$$

Împărțiți 10 la -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{8}{-3}$$

Împărțiți -8 la -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Împărțiți -\frac{10}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Adunați \frac{8}{3} cu \frac{25}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Adunați \frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$