Rezolvați (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Pentru a găsi opusul lui 9x^{2}-12x+4, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Combinați -9x^{2} cu -40x^{2} pentru a obține -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Adăugați 205 la ambele părți.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Adunați -4 și 205 pentru a obține 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5x cu 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -35x+15x^{2} cu 7+3x și a combina termenii similari.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Combinați 16x cu -245x pentru a obține -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Combinați 4x^{2} cu -49x^{2} pentru a obține -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Combinați -229x cu 12x pentru a obține -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Adunați 16 și 201 pentru a obține 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Rearanjați ecuația pentru a o trece sub formă standard. Plasați termenii în ordine, de la cea mai mare la cea mai mică putere.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 217 și q împarte coeficientul inițial 45. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 la x-1 pentru a obține 45x^{2}-217. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 45, b cu 0 și c cu -217.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Rezolvați ecuația 45x^{2}-217=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$