Rezolvați (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Rezolvați pentru x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+3 cu x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x+40 și a combina termenii similari.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combinați 3x^{2} cu x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combinați -32x cu 36x pentru a obține 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Scădeți 160 din -48 pentru a obține -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-8 cu x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Scădeți 2x^{3} din ambele părți.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combinați 2x^{3} cu -2x^{3} pentru a obține 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Adăugați 32x la ambele părți.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combinați 4x cu 32x pentru a obține 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Adăugați 8x^{2} la ambele părți.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combinați 4x^{2} cu 8x^{2} pentru a obține 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Scădeți 128 din ambele părți.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Scădeți 128 din -208 pentru a obține -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Se împart ambele părți la 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-28. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-4 b=7$$

Rescrieți x^{2}+3x-28 ca \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Factor x în primul și 7 în al doilea grup.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+3 cu x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x+40 și a combina termenii similari.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combinați 3x^{2} cu x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combinați -32x cu 36x pentru a obține 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Scădeți 160 din -48 pentru a obține -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-8 cu x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Scădeți 2x^{3} din ambele părți.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combinați 2x^{3} cu -2x^{3} pentru a obține 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Adăugați 32x la ambele părți.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combinați 4x cu 32x pentru a obține 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Adăugați 8x^{2} la ambele părți.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combinați 4x^{2} cu 8x^{2} pentru a obține 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Scădeți 128 din ambele părți.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Scădeți 128 din -208 pentru a obține -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu 36 și c cu -336 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Ridicați 36 la pătrat.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Adunați 1296 cu 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-36±132}{24} atunci când ± este plus. Adunați -36 cu 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Împărțiți 96 la 24.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-36±132}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 132 din -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Împărțiți -168 la 24.

$$x=-7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=-7$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+3 cu x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x+40 și a combina termenii similari.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combinați 3x^{2} cu x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combinați -32x cu 36x pentru a obține 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Scădeți 160 din -48 pentru a obține -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-8 cu x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Scădeți 2x^{3} din ambele părți.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combinați 2x^{3} cu -2x^{3} pentru a obține 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Adăugați 32x la ambele părți.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combinați 4x cu 32x pentru a obține 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Adăugați 8x^{2} la ambele părți.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combinați 4x^{2} cu 8x^{2} pentru a obține 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Adăugați 208 la ambele părți.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Adunați 128 și 208 pentru a obține 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Împărțiți 36 la 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Împărțiți 336 la 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Adunați 28 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-7$$