Rezolvați (2x+3)^2-15^2=10^2-(x-1)^2

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 15 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-9$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calculați 15 la puterea 2 și obțineți 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Scădeți 225 din 9 pentru a obține -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calculați 10 la puterea 2 și obțineți 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-2x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Scădeți 1 din 100 pentru a obține 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Scădeți 99 din ambele părți.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Scădeți 99 din -216 pentru a obține -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Combinați 4x^{2} cu x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Combinați 12x cu -2x pentru a obține 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x^{2}+2x-63=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-63. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=1\left(-63\right)=-63$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=-7 b=9$$

Rescrieți x^{2}+2x-63 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)$$

Factor x în primul și 9 în al doilea grup.

$$x\left(x-7\right)+9\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x+9=0.

$$x=7 x=-9$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calculați 15 la puterea 2 și obțineți 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Scădeți 225 din 9 pentru a obține -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calculați 10 la puterea 2 și obțineți 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-2x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Scădeți 1 din 100 pentru a obține 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Scădeți 99 din ambele părți.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Scădeți 99 din -216 pentru a obține -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Combinați 4x^{2} cu x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Combinați 12x cu -2x pentru a obține 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 10 și c cu -315 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -315.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+6300}}{2\times 5}$$

Adunați 100 cu 6300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 6400.

$$x=\frac{-10±80}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-10±80}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±80}{10} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 80.

$$x=\frac{70}{10}$$

Împărțiți 70 la 10.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±80}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 80 din -10.

$$x=-\frac{90}{10}$$

Împărțiți -90 la 10.

$$x=-9$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=-9$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calculați 15 la puterea 2 și obțineți 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Scădeți 225 din 9 pentru a obține -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calculați 10 la puterea 2 și obțineți 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-2x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Scădeți 1 din 100 pentru a obține 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$4x^{2}+12x-216+x^{2}=99+2x$$

Combinați 4x^{2} cu x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-216=99+2x$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$5x^{2}+12x-216-2x=99$$

Combinați 12x cu -2x pentru a obține 10x.

$$5x^{2}+10x-216=99$$

Adăugați 216 la ambele părți.

$$5x^{2}+10x=99+216$$

Adunați 99 și 216 pentru a obține 315.

$$5x^{2}+10x=315$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{315}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{315}{5}$$

Împărțiți 10 la 5.

$$x^{2}+2x=\frac{315}{5}$$

Împărțiți 315 la 5.

$$x^{2}+2x=63$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=63+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=63+1$$

Adunați 63 cu 1.

$$x^{2}+2x+1=64$$

Factor x^{2}+2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=64$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Simplificați.

$$x+1=8 x+1=-8$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=-9$$