Rezolvați (2x+1)^2=1+(x-1)(x+1)

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 1 + ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Să luăm \left(x-1\right)\left(x+1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 1 la pătrat.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Scădeți 1 din 1 pentru a obține 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=1 b=3$$

Rescrieți 3x^{2}+4x+1 ca \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Scoateți factorul comun x din 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Scoateți termenul comun 3x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x+1=0 și x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Să luăm \left(x-1\right)\left(x+1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 1 la pătrat.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Scădeți 1 din 1 pentru a obține 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 4 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Adunați 16 cu -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2}{6} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Împărțiți -6 la 6.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Să luăm \left(x-1\right)\left(x+1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 1 la pătrat.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Scădeți 1 din 1 pentru a obține 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Împărțiți \frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Adunați -\frac{1}{3} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Scădeți \frac{2}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$