Rezolvați (2x+1)^2+(x+2)(x+1)=x+2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } + ( x + 2 ) ( x + 1 ) = x + 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(x+2\right)\left(x+1\right)=x+2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}+3x+2=x+2$$

Combinați 4x^{2} cu x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+4x+1+3x+2=x+2$$

Combinați 4x cu 3x pentru a obține 7x.

$$5x^{2}+7x+1+2=x+2$$

Adunați 1 și 2 pentru a obține 3.

$$5x^{2}+7x+3=x+2$$

Scădeți x din ambele părți.

$$5x^{2}+7x+3-x=2$$

Combinați 7x cu -x pentru a obține 6x.

$$5x^{2}+6x+3=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$5x^{2}+6x+3-2=0$$

Scădeți 2 din 3 pentru a obține 1.

$$5x^{2}+6x+1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=6 ab=5\times 1=5$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=1 b=5$$

Rescrieți 5x^{2}+6x+1 ca \left(5x^{2}+x\right)+\left(5x+1\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(5x+1\right)$$

Scoateți factorul comun x din 5x^{2}+x.

$$x\left(5x+1\right)+5x+1$$

Scoateți termenul comun 5x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x+1\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x+1=0 și x+1=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(x+2\right)\left(x+1\right)=x+2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}+3x+2=x+2$$

Combinați 4x^{2} cu x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+4x+1+3x+2=x+2$$

Combinați 4x cu 3x pentru a obține 7x.

$$5x^{2}+7x+1+2=x+2$$

Adunați 1 și 2 pentru a obține 3.

$$5x^{2}+7x+3=x+2$$

Scădeți x din ambele părți.

$$5x^{2}+7x+3-x=2$$

Combinați 7x cu -x pentru a obține 6x.

$$5x^{2}+6x+3=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$5x^{2}+6x+3-2=0$$

Scădeți 2 din 3 pentru a obține 1.

$$5x^{2}+6x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 6 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20}}{2\times 5}$$

Adunați 36 cu -20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{16}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-6±4}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-6±4}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±4}{10} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±4}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -6.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Împărțiți -10 la 10.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{5} x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(x+2\right)\left(x+1\right)=x+2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}+3x+2=x+2$$

Combinați 4x^{2} cu x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+4x+1+3x+2=x+2$$

Combinați 4x cu 3x pentru a obține 7x.

$$5x^{2}+7x+1+2=x+2$$

Adunați 1 și 2 pentru a obține 3.

$$5x^{2}+7x+3=x+2$$

Scădeți x din ambele părți.

$$5x^{2}+7x+3-x=2$$

Combinați 7x cu -x pentru a obține 6x.

$$5x^{2}+6x+3=2$$

Scădeți 3 din ambele părți.

$$5x^{2}+6x=2-3$$

Scădeți 3 din 2 pentru a obține -1.

$$5x^{2}+6x=-1$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Împărțiți \frac{6}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{25}$$

Adunați -\frac{1}{5} cu \frac{9}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{4}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{2}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{2}{5}$$

Scădeți \frac{3}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{5} x=-1$$