Rezolvați (16-x)(9-x)=112

$$( 16 - x ) ( 9 - x ) = 112$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{25 - \sqrt{497}}{2} \approx 1,353251595$$

$$x = \frac{\sqrt{497} + 25}{2} \approx 23,646748405$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16-x cu 9-x și a combina termenii similari.

$$144-25x+x^{2}=112$$

Scădeți 112 din ambele părți.

$$144-25x+x^{2}-112=0$$

Scădeți 112 din 144 pentru a obține 32.

$$32-25x+x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-25x+32=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -25 și c cu 32 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 32}}{2}$$

Ridicați -25 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 32}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 32.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-128}}{2}$$

Adunați 625 cu -128.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{497}}{2}$$

Opusul lui -25 este 25.

$$x=\frac{25±\sqrt{497}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{25±\sqrt{497}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 25 cu \sqrt{497}.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{25±\sqrt{497}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{497} din 25.

$$x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2} x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16-x cu 9-x și a combina termenii similari.

$$144-25x+x^{2}=112$$

Scădeți 144 din ambele părți.

$$-25x+x^{2}=112-144$$

Scădeți 144 din 112 pentru a obține -32.

$$-25x+x^{2}=-32$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-25x=-32$$

Împărțiți -25, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{25}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{25}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{25}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-32+\frac{625}{4}$$

Adunați -32 cu \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{497}{4}$$

Factor x^{2}-25x+\frac{625}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{497}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{497}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{\sqrt{497}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{\sqrt{497}}{2}$$

Adunați \frac{25}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2} x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$