Rezolvați (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Calculați 100 la puterea 2 și obțineți 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Adunați 10000 și 10000 pentru a obține 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Scădeți 400x din ambele părți.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combinați 200x cu -400x pentru a obține -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Scădeți 10000 din ambele părți.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Scădeți 10000 din 20000 pentru a obține 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx+10000. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Soluția este perechea care dă suma de -200.

$$a=100 b=-300$$

Rescrieți -3x^{2}-200x+10000 ca \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Factor -x în primul și -100 în al doilea grup.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-100 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-100=0 și -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Calculați 100 la puterea 2 și obțineți 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Adunați 10000 și 10000 pentru a obține 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Scădeți 400x din ambele părți.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combinați 200x cu -400x pentru a obține -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Scădeți 10000 din ambele părți.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Scădeți 10000 din 20000 pentru a obține 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu -200 și c cu 10000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați -200 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 40000 cu 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

Opusul lui -200 este 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{200±400}{-6} atunci când ± este plus. Adunați 200 cu 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Împărțiți 600 la -6.

$$x=-100$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{200±400}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 400 din 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{-200}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Calculați 100 la puterea 2 și obțineți 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Adunați 10000 și 10000 pentru a obține 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Scădeți 400x din ambele părți.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combinați 200x cu -400x pentru a obține -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Scădeți 20000 din ambele părți.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Scădeți 20000 din 10000 pentru a obține -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Împărțiți -200 la -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Împărțiți -10000 la -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Împărțiți \frac{200}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{100}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{100}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{100}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Adunați \frac{10000}{3} cu \frac{10000}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Scădeți \frac{100}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$