Rezolvați (100+x)(200-x)=20000

$$( 100 + x ) ( 200 - x ) = 20000$$

Rezolvați pentru x

$$x=100$$

$$x=0$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 100+x cu 200-x și a combina termenii similari.

$$20000+100x-x^{2}=20000$$

Scădeți 20000 din ambele părți.

$$20000+100x-x^{2}-20000=0$$

Scădeți 20000 din 20000 pentru a obține 0.

$$100x-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+100x=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 100 și c cu 0 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100^{2}.

$$x=\frac{-100±100}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-100±100}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-100±100}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -100 cu 100.

$$x=\frac{0}{-2}$$

Împărțiți 0 la -2.

$$x=0$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-100±100}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 100 din -100.

$$x=-\frac{200}{-2}$$

Împărțiți -200 la -2.

$$x=100$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=0 x=100$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 100+x cu 200-x și a combina termenii similari.

$$20000+100x-x^{2}=20000$$

Scădeți 20000 din ambele părți.

$$100x-x^{2}=20000-20000$$

Scădeți 20000 din 20000 pentru a obține 0.

$$100x-x^{2}=0$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+100x=0$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+100x}{-1}=\frac{0}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{100}{-1}x=\frac{0}{-1}$$

Împărțiți 100 la -1.

$$x^{2}-100x=\frac{0}{-1}$$

Împărțiți 0 la -1.

$$x^{2}-100x=0$$

Împărțiți -100, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -50. Apoi, adunați pătratul lui -50 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-100x+\left(-50\right)^{2}=\left(-50\right)^{2}$$

Ridicați -50 la pătrat.

$$x^{2}-100x+2500=2500$$

Factor x^{2}-100x+2500. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-50\right)^{2}=2500$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-50\right)^{2}}=\sqrt{2500}$$

Simplificați.

$$x-50=50 x-50=-50$$

Adunați 50 la ambele părți ale ecuației.

$$x=100 x=0$$