Rezolvați (12+x)*(1*2-x)=108

$$( 12 + x ) \times ( 1 \cdot 2 - x ) = 108$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-\sqrt{59}i-5\approx -5-7,681145748i$$

$$x=-5+\sqrt{59}i\approx -5+7,681145748i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți 1 cu 2 pentru a obține 2.

$$\left(12+x\right)\left(2-x\right)=108$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 12+x cu 2-x și a combina termenii similari.

$$24-10x-x^{2}=108$$

Scădeți 108 din ambele părți.

$$24-10x-x^{2}-108=0$$

Scădeți 108 din 24 pentru a obține -84.

$$-84-10x-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-10x-84=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -10 și c cu -84 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-84\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-84\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+4\left(-84\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -84.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-336}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 100 cu -336.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-236}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -236.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{59}i}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{59}i}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{10±2\sqrt{59}i}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±2\sqrt{59}i}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{59}i}{-2}$$

Împărțiți 10+2i\sqrt{59} la -2.

$$x=-\sqrt{59}i-5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±2\sqrt{59}i}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{59} din 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+10}{-2}$$

Împărțiți 10-2i\sqrt{59} la -2.

$$x=-5+\sqrt{59}i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\sqrt{59}i-5 x=-5+\sqrt{59}i$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți 1 cu 2 pentru a obține 2.

$$\left(12+x\right)\left(2-x\right)=108$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 12+x cu 2-x și a combina termenii similari.

$$24-10x-x^{2}=108$$

Scădeți 24 din ambele părți.

$$-10x-x^{2}=108-24$$

Scădeți 24 din 108 pentru a obține 84.

$$-10x-x^{2}=84$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-10x=84$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-10x}{-1}=\frac{84}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{-1}\right)x=\frac{84}{-1}$$

Împărțiți -10 la -1.

$$x^{2}+10x=\frac{84}{-1}$$

Împărțiți 84 la -1.

$$x^{2}+10x=-84$$

Împărțiți 10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 5. Apoi, adunați pătratul lui 5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-84+5^{2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x^{2}+10x+25=-84+25$$

Adunați -84 cu 25.

$$x^{2}+10x+25=-59$$

Factorul x^{2}+10x+25. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=-59$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{-59}$$

Simplificați.

$$x+5=\sqrt{59}i x+5=-\sqrt{59}i$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-5+\sqrt{59}i x=-\sqrt{59}i-5$$