Rezolvați (-12-k)^2-4(4)(4)=0

$$( - 12 - k ) ^ { 2 } - 4 ( 4 ) ( 4 ) = 0$$

Rezolvați pentru k

$$k=-20$$

$$k=-4$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Înmulțiți 4 cu 4 pentru a obține 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Înmulțiți 16 cu 4 pentru a obține 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Scădeți 64 din 144 pentru a obține 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$k^{2}+24k+80=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul k^{2}+24k+80 utilizând formula k^{2}+\left(a+b\right)k+ab=\left(k+a\right)\left(k+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=24 ab=80$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 80.

$$1,80 2,40 4,20 5,16 8,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+80=81 2+40=42 4+20=24 5+16=21 8+10=18$$

Soluția este perechea care dă suma de 24.

$$a=4 b=20$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(k+a\right)\left(k+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(k+4\right)\left(k+20\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați k+4=0 și k+20=0.

$$k=-4 k=-20$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Înmulțiți 4 cu 4 pentru a obține 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Înmulțiți 16 cu 4 pentru a obține 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Scădeți 64 din 144 pentru a obține 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$k^{2}+24k+80=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca k^{2}+ak+bk+80. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=24 ab=1\times 80=80$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 80.

$$1,80 2,40 4,20 5,16 8,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+80=81 2+40=42 4+20=24 5+16=21 8+10=18$$

Soluția este perechea care dă suma de 24.

$$a=4 b=20$$

Rescrieți k^{2}+24k+80 ca \left(k^{2}+4k\right)+\left(20k+80\right).

$$\left(k^{2}+4k\right)+\left(20k+80\right)$$

Factor k în primul și 20 în al doilea grup.

$$k\left(k+4\right)+20\left(k+4\right)$$

Scoateți termenul comun k+4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(k+4\right)\left(k+20\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați k+4=0 și k+20=0.

$$k=-4 k=-20$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Înmulțiți 4 cu 4 pentru a obține 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Înmulțiți 16 cu 4 pentru a obține 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Scădeți 64 din 144 pentru a obține 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$k^{2}+24k+80=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 24 și c cu 80 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 80}}{2}$$

Ridicați 24 la pătrat.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 80}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 80.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-320}}{2}$$

Adunați 576 cu -320.

$$k=\frac{-24±\sqrt{256}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$k=\frac{-24±16}{2}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-24±16}{2} atunci când ± este plus. Adunați -24 cu 16.

$$k=-\frac{8}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$k=-4$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-24±16}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din -24.

$$k=-\frac{40}{2}$$

Împărțiți -40 la 2.

$$k=-20$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$k=-4 k=-20$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Înmulțiți 4 cu 4 pentru a obține 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Înmulțiți 16 cu 4 pentru a obține 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Scădeți 64 din 144 pentru a obține 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Scădeți 80 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$24k+k^{2}=-80$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$k^{2}+24k=-80$$

Împărțiți 24, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 12. Apoi, adunați pătratul lui 12 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$k^{2}+24k+12^{2}=-80+12^{2}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$k^{2}+24k+144=-80+144$$

Adunați -80 cu 144.

$$k^{2}+24k+144=64$$

Factor k^{2}+24k+144. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+12\right)^{2}=64$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(k+12\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Simplificați.

$$k+12=8 k+12=-8$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$k=-4 k=-20$$