Rezolvați (x^2-5x+3)=8

$$( { x }^{ 2 } -5x+3)=8$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 5}{2} \approx 5.854101966$$

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}\approx -0.854101966$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Scădeți 8 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-5x+3-8=8-8$$

Scăderea 8 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-5x+3-8=0$$

Scădeți 8 din 3.

$$x^{2}-5x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -5 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-5\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+20}}{2}$$

Adunați 25 cu 20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 45.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{5} din 5.

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-5x+3-3=8-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-5x=8-3$$

Scădeți 3 din 8.

$$x^{2}-5x=5$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=5+\frac{25}{4}$$

Adunați 5 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}$$

Factorul x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$