Rezolvați (x-2/x^2+2x-x-1/x^2+4x+4/frac{4-x{x}})

$$( \frac{ x-2 }{ { x }^{ 2 } +2x } - \frac{ \frac{ x-1 }{ { x }^{ 2 } +4x+4 } }{ \frac{ 4-x }{ x } } )$$

Evaluați

$$\frac{-2x^{3}+5x^{2}+4x-16}{x\left(4-x\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Pașii soluției scurte

Împărțiți \frac{x-1}{x^{2}+4x+4} la \frac{4-x}{x} înmulțind pe \frac{x-1}{x^{2}+4x+4} cu reciproca lui \frac{4-x}{x}.

$$\frac{x-2}{x^{2}+2x}-\frac{\left(x-1\right)x}{\left(x^{2}+4x+4\right)\left(4-x\right)}$$

Descompuneți în factori x^{2}+2x. Descompuneți în factori \left(x^{2}+4x+4\right)\left(4-x\right).

$$\frac{x-2}{x\left(x+2\right)}-\frac{\left(x-1\right)x}{\left(-x+4\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui x\left(x+2\right) și \left(-x+4\right)\left(x+2\right)^{2} este x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}. Înmulțiți \frac{x-2}{x\left(x+2\right)} cu \frac{\left(x-4\right)\left(x+2\right)}{\left(x-4\right)\left(x+2\right)}. Înmulțiți \frac{\left(x-1\right)x}{\left(-x+4\right)\left(x+2\right)^{2}} cu \frac{-x}{-x}.

$$\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}}-\frac{\left(x-1\right)x\left(-1\right)x}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Deoarece \frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}} și \frac{\left(x-1\right)x\left(-1\right)x}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)-\left(x-1\right)x\left(-1\right)x}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Faceți înmulțiri în \left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)-\left(x-1\right)x\left(-1\right)x.

$$\frac{x^{3}-2x^{2}-8x-2x^{2}+4x+16+x^{3}-x^{2}}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Combinați termeni similari în x^{3}-2x^{2}-8x-2x^{2}+4x+16+x^{3}-x^{2}.

$$\frac{2x^{3}-5x^{2}-4x+16}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Extindeți x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}.

$$\frac{2x^{3}-5x^{2}-4x+16}{x^{4}-12x^{2}-16x}$$

Extindere

$$\frac{-2x^{3}+5x^{2}+4x-16}{x\left(4-x\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Pașii soluției scurte

Împărțiți \frac{x-1}{x^{2}+4x+4} la \frac{4-x}{x} înmulțind pe \frac{x-1}{x^{2}+4x+4} cu reciproca lui \frac{4-x}{x}.

$$\frac{x-2}{x^{2}+2x}-\frac{\left(x-1\right)x}{\left(x^{2}+4x+4\right)\left(4-x\right)}$$

Descompuneți în factori x^{2}+2x. Descompuneți în factori \left(x^{2}+4x+4\right)\left(4-x\right).

$$\frac{x-2}{x\left(x+2\right)}-\frac{\left(x-1\right)x}{\left(-x+4\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui x\left(x+2\right) și \left(-x+4\right)\left(x+2\right)^{2} este x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}. Înmulțiți \frac{x-2}{x\left(x+2\right)} cu \frac{\left(x-4\right)\left(x+2\right)}{\left(x-4\right)\left(x+2\right)}. Înmulțiți \frac{\left(x-1\right)x}{\left(-x+4\right)\left(x+2\right)^{2}} cu \frac{-x}{-x}.

$$\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}}-\frac{\left(x-1\right)x\left(-1\right)x}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Deoarece \frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}} și \frac{\left(x-1\right)x\left(-1\right)x}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)-\left(x-1\right)x\left(-1\right)x}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Faceți înmulțiri în \left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)-\left(x-1\right)x\left(-1\right)x.

$$\frac{x^{3}-2x^{2}-8x-2x^{2}+4x+16+x^{3}-x^{2}}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Combinați termeni similari în x^{3}-2x^{2}-8x-2x^{2}+4x+16+x^{3}-x^{2}.

$$\frac{2x^{3}-5x^{2}-4x+16}{x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}}$$

Extindeți x\left(x-4\right)\left(x+2\right)^{2}.

$$\frac{2x^{3}-5x^{2}-4x+16}{x^{4}-12x^{2}-16x}$$