Rezolvați (6/25+x)^2x=32

$$( \frac { 6 } { 25 + x } ) ^ { 2 } x = 32$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}\approx -24,4375-5,273385416i$$

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}\approx -24,4375+5,273385416i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a ridica \frac{6}{25+x} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Exprimați \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x ca fracție unică.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Calculați 6 la puterea 2 și obțineți 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Scădeți 32 din ambele părți.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}-32=0$$

Descompuneți în factori 625+50x+x^{2}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-32=0$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 32 cu \frac{\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-\frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Deoarece \frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}} și \frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{36x-32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Faceți înmulțiri în 36x-32\left(x+25\right)^{2}.

$$\frac{36x-32x^{2}-1600x-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Combinați termeni similari în 36x-32x^{2}-1600x-20000.

$$\frac{-1564x-32x^{2}-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Variabila x nu poate fi egală cu -25, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+25\right)^{2}.

$$-1564x-32x^{2}-20000=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-32x^{2}-1564x-20000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -32, b cu -1564 și c cu -20000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{\left(-1564\right)^{2}-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Ridicați -1564 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -32.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096+128\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Înmulțiți 128 cu -20000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-2560000}}{2\left(-32\right)}$$

Adunați 2446096 cu -2560000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{-113904}}{2\left(-32\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -113904.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Opusul lui -1564 este 1564.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -32.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} atunci când ± este plus. Adunați 1564 cu 12i\sqrt{791}.

$$x=\frac{1564+12\sqrt{791}i}{-64}$$

Împărțiți 1564+12i\sqrt{791} la -64.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} atunci când ± este minus. Scădeți 12i\sqrt{791} din 1564.

$$x=\frac{-12\sqrt{791}i+1564}{-64}$$

Împărțiți 1564-12i\sqrt{791} la -64.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16} x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Pași pentru completarea pătratului

Pentru a ridica \frac{6}{25+x} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Exprimați \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x ca fracție unică.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Calculați 6 la puterea 2 și obțineți 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Variabila x nu poate fi egală cu -25, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x+25\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x^{2}+50x+625\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 32 cu x^{2}+50x+625.

$$36x=32x^{2}+1600x+20000$$

Scădeți 32x^{2} din ambele părți.

$$36x-32x^{2}=1600x+20000$$

Scădeți 1600x din ambele părți.

$$36x-32x^{2}-1600x=20000$$

Combinați 36x cu -1600x pentru a obține -1564x.

$$-1564x-32x^{2}=20000$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-32x^{2}-1564x=20000$$

Se împart ambele părți la -32.

$$\frac{-32x^{2}-1564x}{-32}=\frac{20000}{-32}$$

Împărțirea la -32 anulează înmulțirea cu -32.

$$x^{2}+\left(-\frac{1564}{-32}\right)x=\frac{20000}{-32}$$

Reduceți fracția \frac{-1564}{-32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=\frac{20000}{-32}$$

Împărțiți 20000 la -32.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=-625$$

Împărțiți \frac{391}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{391}{16}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{391}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}=-625+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{391}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-625+\frac{152881}{256}$$

Adunați -625 cu \frac{152881}{256}.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-\frac{7119}{256}$$

Factor x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}=-\frac{7119}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7119}{256}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{391}{16}=\frac{3\sqrt{791}i}{16} x+\frac{391}{16}=-\frac{3\sqrt{791}i}{16}$$

Scădeți \frac{391}{16} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$