Rezolvați (10/sqrt{5}-5/sqrt{3})(2/sqrt{3}+4/sqrt{5})

$$( \frac { 10 } { \sqrt { 5 } } - \frac { 5 } { \sqrt { 3 } } ) ( \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } + \frac { 4 } { \sqrt { 5 } } )$$

Evaluați

$$\frac{14}{3}\approx 4,666666667$$

Pașii soluției scurte

Raționalizați numitorul \frac{10}{\sqrt{5}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{5}.

$$\left(\frac{10\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}-\frac{5}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$\left(\frac{10\sqrt{5}}{5}-\frac{5}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Împărțiți 10\sqrt{5} la 5 pentru a obține 2\sqrt{5}.

$$\left(2\sqrt{5}-\frac{5}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Raționalizați numitorul \frac{5}{\sqrt{3}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{3}.

$$\left(2\sqrt{5}-\frac{5\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\left(2\sqrt{5}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 2\sqrt{5} cu \frac{3}{3}.

$$\left(\frac{3\times 2\sqrt{5}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Deoarece \frac{3\times 2\sqrt{5}}{3} și \frac{5\sqrt{3}}{3} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{3\times 2\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Faceți înmulțiri în 3\times 2\sqrt{5}-5\sqrt{3}.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Raționalizați numitorul \frac{2}{\sqrt{3}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{3}.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

Raționalizați numitorul \frac{4}{\sqrt{5}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{5}.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}\right)$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui 3 și 5 este 15. Înmulțiți \frac{2\sqrt{3}}{3} cu \frac{5}{5}. Înmulțiți \frac{4\sqrt{5}}{5} cu \frac{3}{3}.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\left(\frac{5\times 2\sqrt{3}}{15}+\frac{3\times 4\sqrt{5}}{15}\right)$$

Deoarece \frac{5\times 2\sqrt{3}}{15} și \frac{3\times 4\sqrt{5}}{15} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\times \frac{5\times 2\sqrt{3}+3\times 4\sqrt{5}}{15}$$

Faceți înmulțiri în 5\times 2\sqrt{3}+3\times 4\sqrt{5}.

$$\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3}\times \frac{10\sqrt{3}+12\sqrt{5}}{15}$$

Înmulțiți \frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{3} cu \frac{10\sqrt{3}+12\sqrt{5}}{15} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor.

$$\frac{\left(6\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(10\sqrt{3}+12\sqrt{5}\right)}{3\times 15}$$

Înmulțiți 3 cu 15 pentru a obține 45.

$$\frac{\left(6\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(10\sqrt{3}+12\sqrt{5}\right)}{45}$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 6\sqrt{5}-5\sqrt{3} la fiecare termen de 10\sqrt{3}+12\sqrt{5}.

$$\frac{60\sqrt{3}\sqrt{5}+72\left(\sqrt{5}\right)^{2}-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Pentru a înmulți \sqrt{3} și a \sqrt{5}, înmulțiți numerele sub rădăcina pătrată.

$$\frac{60\sqrt{15}+72\left(\sqrt{5}\right)^{2}-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$\frac{60\sqrt{15}+72\times 5-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Înmulțiți 72 cu 5 pentru a obține 360.

$$\frac{60\sqrt{15}+360-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\frac{60\sqrt{15}+360-50\times 3-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Înmulțiți -50 cu 3 pentru a obține -150.

$$\frac{60\sqrt{15}[phone]\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Scădeți 150 din 360 pentru a obține 210.

$$\frac{60\sqrt{15}+210-60\sqrt{3}\sqrt{5}}{45}$$

Pentru a înmulți \sqrt{3} și a \sqrt{5}, înmulțiți numerele sub rădăcina pătrată.

$$\frac{60\sqrt{15}+210-60\sqrt{15}}{45}$$

Combinați 60\sqrt{15} cu -60\sqrt{15} pentru a obține 0.

$$\frac{210}{45}$$

Reduceți fracția \frac{210}{45} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 15.

$$\frac{14}{3}$$

Descompunere în factori

$$\frac{2 \cdot 7}{3} = 4\frac{2}{3} = 4,666666666666667$$