Rezolvați (frac{sqrt{3}-sqrt{2}}{sqrt{3}+sqrt{2}})^2

$$( \frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } ) ^ { 2 }$$

Evaluați

$$49-20\sqrt{6}\approx 0,010205144$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{3}-\sqrt{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}\right)^{2}$$

Să luăm \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{2}$$

Ridicați \sqrt{3} la pătrat. Ridicați \sqrt{2} la pătrat.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{3-2}\right)^{2}$$

Scădeți 2 din 3 pentru a obține 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{1}\right)^{2}$$

Orice lucru împărțit la unu este egal cu sine însuși.

$$\left(\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right)^{2}$$

Înmulțiți \sqrt{3}-\sqrt{2} cu \sqrt{3}-\sqrt{2} pentru a obține \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\left(\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\left(3-2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)^{2}$$

Pentru a înmulțiți \sqrt{3} și \sqrt{2}, înmulțiți numerele de sub rădăcina pătrată.

$$\left(3-2\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\left(3-2\sqrt{6}+2\right)^{2}$$

Adunați 3 și 2 pentru a obține 5.

$$\left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}.

$$25-20\sqrt{6}+4\left(\sqrt{6}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{6} este 6.

$$25-20\sqrt{6}+4\times 6$$

Înmulțiți 4 cu 6 pentru a obține 24.

$$25-20\sqrt{6}+24$$

Adunați 25 și 24 pentru a obține 49.

$$49-20\sqrt{6}$$

Extindere

$$49-20\sqrt{6}$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{3}-\sqrt{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}\right)^{2}$$

Să luăm \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{2}$$

Ridicați \sqrt{3} la pătrat. Ridicați \sqrt{2} la pătrat.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{3-2}\right)^{2}$$

Scădeți 2 din 3 pentru a obține 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{1}\right)^{2}$$

Orice lucru împărțit la unu este egal cu sine însuși.

$$\left(\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right)^{2}$$

Înmulțiți \sqrt{3}-\sqrt{2} cu \sqrt{3}-\sqrt{2} pentru a obține \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\left(\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\left(3-2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)^{2}$$

Pentru a înmulțiți \sqrt{3} și \sqrt{2}, înmulțiți numerele de sub rădăcina pătrată.

$$\left(3-2\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\left(3-2\sqrt{6}+2\right)^{2}$$

Adunați 3 și 2 pentru a obține 5.

$$\left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}.

$$25-20\sqrt{6}+4\left(\sqrt{6}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{6} este 6.

$$25-20\sqrt{6}+4\times 6$$

Înmulțiți 4 cu 6 pentru a obține 24.

$$25-20\sqrt{6}+24$$

Adunați 25 și 24 pentru a obține 49.

$$49-20\sqrt{6}$$