Rezolvați (frac{sqrt{2}}{sqrt{2}-18})^2

$$( \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } - 18 } ) ^ { 2 }$$

Evaluați

$$\frac{18\sqrt{2}+163}{25921}\approx 0,007270393$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-18} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{2}+18.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{\left(\sqrt{2}-18\right)\left(\sqrt{2}+18\right)}\right)^{2}$$

Să luăm \left(\sqrt{2}-18\right)\left(\sqrt{2}+18\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-18^{2}}\right)^{2}$$

Ridicați \sqrt{2} la pătrat. Ridicați 18 la pătrat.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{2-324}\right)^{2}$$

Scădeți 324 din 2 pentru a obține -322.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{-322}\right)^{2}$$

Pentru a ridica \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{-322} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{\left(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Extindeți \left(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{2}+18\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+18\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{2}+18\right)^{2}.

$$\frac{2\left(\left(\sqrt{2}\right)^{2}+36\sqrt{2}+324\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\frac{2\left(2+36\sqrt{2}+324\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Adunați 2 și 324 pentru a obține 326.

$$\frac{2\left(326+36\sqrt{2}\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Calculați -322 la puterea 2 și obțineți 103684.

$$\frac{2\left(326+36\sqrt{2}\right)}{103684}$$

Împărțiți 2\left(326+36\sqrt{2}\right) la 103684 pentru a obține \frac{1}{51842}\left(326+36\sqrt{2}\right).

$$\frac{1}{51842}\left(326+36\sqrt{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți \frac{1}{51842} cu 326+36\sqrt{2}.

$$\frac{163}{25921}+\frac{18}{25921}\sqrt{2}$$

Extindere

$$\frac{18 \sqrt{2} + 163}{25921} = 0,007270392505023561$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-18} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{2}+18.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{\left(\sqrt{2}-18\right)\left(\sqrt{2}+18\right)}\right)^{2}$$

Să luăm \left(\sqrt{2}-18\right)\left(\sqrt{2}+18\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-18^{2}}\right)^{2}$$

Ridicați \sqrt{2} la pătrat. Ridicați 18 la pătrat.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{2-324}\right)^{2}$$

Scădeți 324 din 2 pentru a obține -322.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{-322}\right)^{2}$$

Pentru a ridica \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{-322} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{\left(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Extindeți \left(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{2}+18\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+18\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{2}+18\right)^{2}.

$$\frac{2\left(\left(\sqrt{2}\right)^{2}+36\sqrt{2}+324\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\frac{2\left(2+36\sqrt{2}+324\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Adunați 2 și 324 pentru a obține 326.

$$\frac{2\left(326+36\sqrt{2}\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Calculați -322 la puterea 2 și obțineți 103684.

$$\frac{2\left(326+36\sqrt{2}\right)}{103684}$$

Împărțiți 2\left(326+36\sqrt{2}\right) la 103684 pentru a obține \frac{1}{51842}\left(326+36\sqrt{2}\right).

$$\frac{1}{51842}\left(326+36\sqrt{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți \frac{1}{51842} cu 326+36\sqrt{2}.

$$\frac{163}{25921}+\frac{18}{25921}\sqrt{2}$$