Rezolvați z^2-25z+16=0

$${ z }^{ 2 } -25z+16 = 0$$

Rezolvați pentru z

$$z = \frac{\sqrt{561} + 25}{2} \approx 24,342719282$$

$$z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}\approx 0,657280718$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z^{2}-25z+16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -25 și c cu 16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

Ridicați -25 la pătrat.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 16}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-64}}{2}$$

Adunați 625 cu -64.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{561}}{2}$$

Opusul lui -25 este 25.

$$z=\frac{25±\sqrt{561}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{25±\sqrt{561}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 25 cu \sqrt{561}.

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{25±\sqrt{561}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{561} din 25.

$$z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2} z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-25z+16=0$$

Scădeți 16 din ambele părți ale ecuației.

$$z^{2}-25z+16-16=-16$$

Scăderea 16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$z^{2}-25z=-16$$

Împărțiți -25, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{25}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{25}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}-25z+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-16+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{25}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$z^{2}-25z+\frac{625}{4}=-16+\frac{625}{4}$$

Adunați -16 cu \frac{625}{4}.

$$z^{2}-25z+\frac{625}{4}=\frac{561}{4}$$

Factor z^{2}-25z+\frac{625}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{561}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{561}{4}}$$

Simplificați.

$$z-\frac{25}{2}=\frac{\sqrt{561}}{2} z-\frac{25}{2}=-\frac{\sqrt{561}}{2}$$

Adunați \frac{25}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2} z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$