Rezolvați z^2+27=10z

$${ z }^{ 2 } +27 = 10z$$

Rezolvați pentru z

$$z=5+\sqrt{2}i\approx 5+1,414213562i$$

$$z=-\sqrt{2}i+5\approx 5-1,414213562i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 10z din ambele părți.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z^{2}-10z+27=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -10 și c cu 27 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 27}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 27.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-108}}{2}$$

Adunați 100 cu -108.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -8.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 2i\sqrt{2}.

$$z=\frac{10+2\sqrt{2}i}{2}$$

Împărțiți 10+2i\sqrt{2} la 2.

$$z=5+\sqrt{2}i$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{2} din 10.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}i+10}{2}$$

Împărțiți 10-2i\sqrt{2} la 2.

$$z=-\sqrt{2}i+5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 10z din ambele părți.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Scădeți 27 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$z^{2}-10z=-27$$

Împărțiți -10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -5. Apoi, adunați pătratul lui -5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}-10z+\left(-5\right)^{2}=-27+\left(-5\right)^{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$z^{2}-10z+25=-27+25$$

Adunați -27 cu 25.

$$z^{2}-10z+25=-2$$

Factor z^{2}-10z+25. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-5\right)^{2}=-2$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z-5\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Simplificați.

$$z-5=\sqrt{2}i z-5=-\sqrt{2}i$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$