Rezolvați y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Rezolvați pentru y

$$y=6$$

$$y=9$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Adăugați 54 la ambele părți.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul y^{2}-15y+54 utilizând formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-15 ab=54$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Soluția este perechea care dă suma de -15.

$$a=-9 b=-6$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(y+a\right)\left(y+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-9=0 și y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 54 la ambele părți.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by+54. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Soluția este perechea care dă suma de -15.

$$a=-9 b=-6$$

Rescrieți y^{2}-15y+54 ca \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Factor y în primul și -6 în al doilea grup.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Scoateți termenul comun y-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-9=0 și y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}-15y=-54$$

Adunați 54 la ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Scăderea -54 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Scădeți -54 din 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -15 și c cu 54 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Adunați 225 cu -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{15±3}{2} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Împărțiți 18 la 2.

$$y=9$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{15±3}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$y=6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=9 y=6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Împărțiți -15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Adunați -54 cu \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor y^{2}-15y+\frac{225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$y=9 y=6$$