Rezolvați y^2-10y+13=0

$${ y }^{ 2 } -10y+13=0$$

Rezolvați pentru y

$$y=2\sqrt{3}+5\approx 8,464101615$$

$$y=5-2\sqrt{3}\approx 1,535898385$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}-10y+13=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -10 și c cu 13 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 13}}{2}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 13}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 13.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-52}}{2}$$

Adunați 100 cu -52.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{48}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 48.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±4\sqrt{3}}{2}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$y=\frac{10±4\sqrt{3}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{10±4\sqrt{3}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 4\sqrt{3}.

$$y=\frac{4\sqrt{3}+10}{2}$$

Împărțiți 10+4\sqrt{3} la 2.

$$y=2\sqrt{3}+5$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{10±4\sqrt{3}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{3} din 10.

$$y=\frac{10-4\sqrt{3}}{2}$$

Împărțiți 10-4\sqrt{3} la 2.

$$y=5-2\sqrt{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=2\sqrt{3}+5 y=5-2\sqrt{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-10y+13=0$$

Scădeți 13 din ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}-10y+13-13=-13$$

Scăderea 13 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}-10y=-13$$

Împărțiți -10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -5. Apoi, adunați pătratul lui -5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=-13+\left(-5\right)^{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$y^{2}-10y+25=-13+25$$

Adunați -13 cu 25.

$$y^{2}-10y+25=12$$

Factor y^{2}-10y+25. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=12$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{12}$$

Simplificați.

$$y-5=2\sqrt{3} y-5=-2\sqrt{3}$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$y=2\sqrt{3}+5 y=5-2\sqrt{3}$$