Rezolvați x^6+1=x^4+x^2

$${ x }^{ 6 } +1= { x }^{ 4 } + { x }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=1$$

Pașii soluției

Scădeți x^{4} din ambele părți.

$$x^{6}+1-x^{4}=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x^{6}+1-x^{4}-x^{2}=0$$

Rearanjați ecuația pentru a o trece sub formă standard. Plasați termenii în ordine, de la cea mai mare la cea mai mică putere.

$$x^{6}-x^{4}-x^{2}+1=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 1 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 la x-1 pentru a obține x^{5}+x^{4}-x-1. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{5}+x^{4}-x-1=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -1 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{5}+x^{4}-x-1 la x-1 pentru a obține x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 1 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 la x+1 pentru a obține x^{3}+x^{2}+x+1. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 1 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+x^{2}+x+1 la x+1 pentru a obține x^{2}+1. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu 1.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Pentru că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în câmpul real, nu există soluții.

$$x\in \emptyset$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=-1$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=i$$

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=1$$