Rezolvați x^5+3x^4=x+3

$${ x }^{ 5 } +3 { x }^{ 4 } =x+3$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-1$$

Pașii soluției

Scădeți x din ambele părți.

$$x^{5}+3x^{4}-x=3$$

Scădeți 3 din ambele părți.

$$x^{5}+3x^{4}-x-3=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -3 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{5}+3x^{4}-x-3 la x-1 pentru a obține x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 3 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3 la x+1 pentru a obține x^{3}+3x^{2}+x+3. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}+3x^{2}+x+3=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 3 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-3$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+3x^{2}+x+3 la x+3 pentru a obține x^{2}+1. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu 1.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Pentru că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în câmpul real, nu există soluții.

$$x\in \emptyset$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=-1 x=-3$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=1$$

$$x=-i$$

$$x=i$$

$$x=-3$$