Rezolvați x^4-4x^2+3

$${ x }^{ 4 } -4 { x }^{ 2 } +3$$

Descompunere în factori

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Pașii soluției

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{4}-4x^{2}+3=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 3 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-4x^{2}+3 la x-1 pentru a obține x^{3}+x^{2}-3x-3. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x-3=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -3 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+x^{2}-3x-3 la x+1 pentru a obține x^{2}-3. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{2}-3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu -3.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}-3=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-\sqrt{3} x=\sqrt{3}$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute. Polinomul x^{2}-3 nu este descompus în factori, pentru că nu are rădăcini raționale.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Evaluați

$$x^{4}-4x^{2}+3$$