Rezolvați x^4-18x^2+81

$${ x }^{ 4 } -18 { x }^{ 2 } +81$$

Descompunere în factori

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Pașii soluției

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{4}-18x^{2}+81=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 81 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±81,±27,±9,±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=3$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-18x^{2}+81 la x-3 pentru a obține x^{3}+3x^{2}-9x-27. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{3}+3x^{2}-9x-27=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -27 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±27,±9,±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=3$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+3x^{2}-9x-27 la x-3 pentru a obține x^{2}+6x+9. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{2}+6x+9=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 6 și c cu 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-6±0}{2}$$

Soluțiile sunt la fel.

$$x=-3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute.

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Evaluați

$$\left(x^{2}-9\right)^{2}$$