Rezolvați x^4+1/x^4=322

$${ x }^{ 4 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 4 } } =322$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x\in -\left(\sqrt{5}+2\right),-\sqrt{5}i-2i,\sqrt{5}i+2i,\sqrt{5}+2,-\sqrt{5}i+2i,2-\sqrt{5},\sqrt{5}i-2i,\sqrt{5}-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x^{4}.

$$x^{4}x^{4}+1=322x^{4}$$

Pentru a înmulți puterile cu aceeași baze, adunați exponenții lor. Adunați 4 și 4 pentru a obține 8.

$$x^{8}+1=322x^{4}$$

Scădeți 322x^{4} din ambele părți.

$$x^{8}+1-322x^{4}=0$$

Înlocuiți x^{4} cu t.

$$t^{2}-322t+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -322 și c cu 1.

$$t=\frac{-\left(-322\right)±\sqrt{\left(-322\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Faceți calculele.

$$t=\frac{322±144\sqrt{5}}{2}$$

Rezolvați ecuația t=\frac{322±144\sqrt{5}}{2} când ± este plus și când ± este minus.

$$t=72\sqrt{5}+161 t=161-72\sqrt{5}$$

De la x=t^{4}, soluțiile sunt obținute prin rezolvarea ecuației pentru fiecare t.

$$x=-\left(\sqrt{5}i+2i\right) x=-\left(\sqrt{5}+2\right) x=\sqrt{5}i+2i x=\sqrt{5}+2 x=-\sqrt{5}i+2i x=2-\sqrt{5} x=-\left(-\sqrt{5}i+2i\right) x=-\left(2-\sqrt{5}\right)$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\left(\sqrt{5}+2\right)\approx -4,236067977$$

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x^{4}.

$$x^{4}x^{4}+1=322x^{4}$$

Pentru a înmulți puterile cu aceeași baze, adunați exponenții lor. Adunați 4 și 4 pentru a obține 8.

$$x^{8}+1=322x^{4}$$

Scădeți 322x^{4} din ambele părți.

$$x^{8}+1-322x^{4}=0$$

Înlocuiți x^{4} cu t.

$$t^{2}-322t+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -322 și c cu 1.

$$t=\frac{-\left(-322\right)±\sqrt{\left(-322\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Faceți calculele.

$$t=\frac{322±144\sqrt{5}}{2}$$

Rezolvați ecuația t=\frac{322±144\sqrt{5}}{2} când ± este plus și când ± este minus.

$$t=72\sqrt{5}+161 t=161-72\sqrt{5}$$

De la x=t^{4}, soluțiile sunt obținute prin evaluarea x=±\sqrt[4]{t} pentru t pozitive.

$$x=\sqrt{5}+2 x=-\left(\sqrt{5}+2\right) x=-\left(2-\sqrt{5}\right) x=2-\sqrt{5}$$