Rezolvați x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -1 și c cu -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Pentru ca produsul să fie pozitiv, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} și x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} trebuie să fie ambele fie negative, fie pozitive. Tratați cazul în care atât x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}, cât și x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} sunt negative.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Tratați cazul în care atât x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}, cât și x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} sunt pozitive.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$