Rezolvați x^2-9x-70=0

$${ x }^{ 2 } -9x-70 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

$$x=14$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-9x-70 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=-70$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-14 b=5$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-14\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-14=0 și x+5=0.

$$x=14 x=-5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-70. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=1\left(-70\right)=-70$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-14 b=5$$

Rescrieți x^{2}-9x-70 ca \left(x^{2}-14x\right)+\left(5x-70\right).

$$\left(x^{2}-14x\right)+\left(5x-70\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(x-14\right)+5\left(x-14\right)$$

Scoateți termenul comun x-14 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-14\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-14=0 și x+5=0.

$$x=14 x=-5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-9x-70=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -9 și c cu -70 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-70\right)}}{2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-70\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -70.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+280}}{2}$$

Adunați 81 cu 280.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 361.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±19}{2}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±19}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±19}{2} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 19.

$$x=\frac{28}{2}$$

Împărțiți 28 la 2.

$$x=14$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±19}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 19 din 9.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Împărțiți -10 la 2.

$$x=-5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=14 x=-5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x-70=0$$

Adunați 70 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-9x-70-\left(-70\right)=-\left(-70\right)$$

Scăderea -70 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-9x=-\left(-70\right)$$

Scădeți -70 din 0.

$$x^{2}-9x=70$$

Împărțiți -9, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=70+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=70+\frac{81}{4}$$

Adunați 70 cu \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{361}{4}$$

Factor x^{2}-9x+\frac{81}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{19}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{19}{2}$$

Adunați \frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=14 x=-5$$